التعريف الرياضى الدقيق لمفهوم المتتابعات والمتسلسلات وأنواعها وقوانينها
موجود بالطبع فى أى كتاب يحتوى هذا الموضوع
ولكن بصورة مبسطة
يرمز لحدود هذه المتتابعة
ح(ن) = ( أ1 , أ2 , أ3 , أ4 , ..... , أ م ) إذا كانت منتهية عدد حدودها = م
ح(ن) = ( أ1 , أ2 , أ3 , أ4 , ..... , أ ر , ..... ) إذا كانت غير منتهية
وأمثلة ذلك:
1] ح(ن) = ( 1 , 2 , 3 , 4 , ... ) متتابعة الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن
2] ح(ن) = ( 2 , 4 , 6 , ... ) متتابعة الأعداد الزوجية الموجبة
قاعدتها ح(ن) = 2ن
3] ح(ن) = ( 1 , 4 , 9 , 16 , ... ) متتابعة مربعات الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن2
4] ح(ن) = ( 1 , 8 , 27 , 64 , ... ) متتابعة مكعبات الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن3
5] ح(ن) = ( 13 , 17 , 21 , 25 , ... , 101 ) متتابعة حسابيةأساسها =4
قاعدتها ح(ن) = 9 + 4ن
6] ح(ن) = ( 60 , 53 , 46 , 39 , ... ) متتابعة حسابية أساسها = - 7
قاعدتها ح(ن) = 67 – 7 ن
7] ح(ن) = ( 2 , 6 , 18 , 54 , ... ) متتابعة هندسية أساسها = 3
قاعدتها ح(ن) = 2 × 3 ^(ن-1)
8] ح( ن)= (512 , 256 , 128 , ... , 1 ) متتابعة هنسية أساسها = 1\2
قاعدتها ح(ن) = 512 × 0.5 ^(ن-1)
9] ح(ن) = ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 , ... ) متتابعة هنسية أساسها = - 1
قاعدتها ح(ن) = - 1 ^(ن-1)
10] ح(ن) = ( 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , ... ) متتابعة ثابتة ( هندسية & حسابية)
قاعدتها ح(ن) = 7
11] ح(ن) = ( 1 , 2\3 , 1\3 , 4\27 , .... ) متتابعة عامة
قاعدتها ح(ن) = ن \ 3 ^ (ن – 1) ناشئة من قسمة حدود مثال 2 على مثال 7
12] ح(ن) = ن2 + ن – 7 متتابعة عامة
13] ح (ن) = ( 2ن – 3 ) \ ( ن2 + 1 ) متتابعة عامة
أما المتسلسلة فهى بكل بساطة المجموع الجبرى لحدود المتتابعة
يعنى لا يوجد فاصلة بين الحدود وإنما توجد علامة الجمع +
جـ( 11) = 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 121 متسلسلة مجموع الأحد عشر الأولى من متتابعة مربعات الأعداد الطبيعية
جـ = 1+ 1\2 + 1\4 + 1\8 + ....... متسلسلة مجموع مالانهاية من حدود المتتابعة الهندسية التقاربية التى حدها الأول = 1 , أساسها = 1\2
وبصفة عامة
إذا كان قاعدة تعريف الحد النونى لمتتابعة ما معلومة
يستخدم الرمز سيجما ح(ر) للدلالة على متسلسلة مجموع حدود هذه المتتابعة إبتداء من ر= 1 إلى ر = ن
يتميز الرمز سيجما بخصائص هامة يجب معرفتها فهى تساعد على الوصول للحل بسهولة ويسر
ولإيجاد مجموع ن من حدود متتابعة حسابية على الصورة
أ , أ + د , أ + 2 د , ... , ل = أ + ( ن – 1 ) × د
حدها الأول = أ , أساسها = د , وعدد حدودها = ن , وحدها الأخير =ل
جـ (ن) = ن\2 [ 2أ + ( ن – 1 ) × د ]
جـ(ن) = ن\2 [ أ + ل ]
جـ(ن) = ن × م حيث م الحد الأوسط لمتتابعة عدد حدودها فردى
جـ(ن) = ن × الوسط الحسابى للحدان الأوسطان لمتتابعة عدد حدودها زوجى
حالة خاصة
جـ (ن) = ن ×( ن + 1)\2 لإيجاد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى ن
وسوف نطبق على مثال 5
5] ح(ن) = ( 13 , 17 , 21 , 25 , ... , 101 ) متتابعة حسابيةأساسها =4
أوجد مجموع حدودها ثم أوجد مجموع العشرة حدود الأول منها
الحل: أولاً
الحد الأول: أ = 13
الأساس = أى حد – الحد السابق له مباشرة = 4
الحد الأخير: ل = 101
عدد الحدود = 22 حدا ( يمكن حسابه بسهولة لأن الحد الأخير معلوم)
مجموع حدود هذه المتتابعة = ن\2 ( أ + ل ) = 22\2 ( 13 + 101)
= 11 × 114 = 1254
ثانياً
جـ (ن) = ن \2 ( 2أ + ( ن – 1 ) × د )
جـ(10) = 10\2 ( 26 + 9 × 4 ) = 5 × ( 26 + 36 ) = 5 × 62 = 310
التعريف الرياضى الدقيق لمفهوم المتتابعات والمتسلسلات وأنواعها وقوانينها
موجود بالطبع فى أى كتاب يحتوى هذا الموضوع
ولكن بصورة مبسطة
يرمز لحدود هذه المتتابعة
ح(ن) = ( أ1 , أ2 , أ3 , أ4 , ..... , أ م ) إذا كانت منتهية عدد حدودها = م
ح(ن) = ( أ1 , أ2 , أ3 , أ4 , ..... , أ ر , ..... ) إذا كانت غير منتهية
وأمثلة ذلك:
1] ح(ن) = ( 1 , 2 , 3 , 4 , ... ) متتابعة الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن
2] ح(ن) = ( 2 , 4 , 6 , ... ) متتابعة الأعداد الزوجية الموجبة
قاعدتها ح(ن) = 2ن
3] ح(ن) = ( 1 , 4 , 9 , 16 , ... ) متتابعة مربعات الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن2
4] ح(ن) = ( 1 , 8 , 27 , 64 , ... ) متتابعة مكعبات الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن3
5] ح(ن) = ( 13 , 17 , 21 , 25 , ... , 101 ) متتابعة حسابيةأساسها =4
قاعدتها ح(ن) = 9 + 4ن
6] ح(ن) = ( 60 , 53 , 46 , 39 , ... ) متتابعة حسابية أساسها = - 7
قاعدتها ح(ن) = 67 – 7 ن
7] ح(ن) = ( 2 , 6 , 18 , 54 , ... ) متتابعة هندسية أساسها = 3
قاعدتها ح(ن) = 2 × 3 ^(ن-1)
8] ح( ن)= (512 , 256 , 128 , ... , 1 ) متتابعة هنسية أساسها = 1\2
قاعدتها ح(ن) = 512 × 0.5 ^(ن-1)
9] ح(ن) = ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 , ... ) متتابعة هنسية أساسها = - 1
قاعدتها ح(ن) = - 1 ^(ن-1)
10] ح(ن) = ( 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , ... ) متتابعة ثابتة ( هندسية & حسابية)
قاعدتها ح(ن) = 7
11] ح(ن) = ( 1 , 2\3 , 1\3 , 4\27 , .... ) متتابعة عامة
قاعدتها ح(ن) = ن \ 3 ^ (ن – 1) ناشئة من قسمة حدود مثال 2 على مثال 7
12] ح(ن) = ن2 + ن – 7 متتابعة عامة
13] ح (ن) = ( 2ن – 3 ) \ ( ن2 + 1 ) متتابعة عامة
أما المتسلسلة فهى بكل بساطة المجموع الجبرى لحدود المتتابعة
يعنى لا يوجد فاصلة بين الحدود وإنما توجد علامة الجمع +
جـ( 11) = 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 121 متسلسلة مجموع الأحد عشر الأولى من متتابعة مربعات الأعداد الطبيعية
جـ = 1+ 1\2 + 1\4 + 1\8 + ....... متسلسلة مجموع مالانهاية من حدود المتتابعة الهندسية التقاربية التى حدها الأول = 1 , أساسها = 1\2
وبصفة عامة
إذا كان قاعدة تعريف الحد النونى لمتتابعة ما معلومة
يستخدم الرمز سيجما ح(ر) للدلالة على متسلسلة مجموع حدود هذه المتتابعة إبتداء من ر= 1 إلى ر = ن
يتميز الرمز سيجما بخصائص هامة يجب معرفتها فهى تساعد على الوصول للحل بسهولة ويسر
ولإيجاد مجموع ن من حدود متتابعة حسابية على الصورة
أ , أ + د , أ + 2 د , ... , ل = أ + ( ن – 1 ) × د
حدها الأول = أ , أساسها = د , وعدد حدودها = ن , وحدها الأخير =ل
جـ (ن) = ن\2 [ 2أ + ( ن – 1 ) × د ]
جـ(ن) = ن\2 [ أ + ل ]
جـ(ن) = ن × م حيث م الحد الأوسط لمتتابعة عدد حدودها فردى
جـ(ن) = ن × الوسط الحسابى للحدان الأوسطان لمتتابعة عدد حدودها زوجى
حالة خاصة
جـ (ن) = ن ×( ن + 1)\2 لإيجاد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى ن
وسوف نطبق على مثال 5
5] ح(ن) = ( 13 , 17 , 21 , 25 , ... , 101 ) متتابعة حسابيةأساسها =4
أوجد مجموع حدودها ثم أوجد مجموع العشرة حدود الأول منها
الحل: أولاً
الحد الأول: أ = 13
الأساس = أى حد – الحد السابق له مباشرة = 4
الحد الأخير: ل = 101
عدد الحدود = 22 حدا ( يمكن حسابه بسهولة لأن الحد الأخير معلوم)
مجموع حدود هذه المتتابعة = ن\2 ( أ + ل ) = 22\2 ( 13 + 101)
= 11 × 114 = 1254
ثانياً
جـ (ن) = ن \2 ( 2أ + ( ن – 1 ) × د )
جـ(10) = 10\2 ( 26 + 9 × 4 ) = 5 × ( 26 + 36 ) = 5 × 62 = 310
التعريف الرياضى الدقيق لمفهوم المتتابعات والمتسلسلات وأنواعها وقوانينها
موجود بالطبع فى أى كتاب يحتوى هذا الموضوع
ولكن بصورة مبسطة
يرمز لحدود هذه المتتابعة
ح(ن) = ( أ1 , أ2 , أ3 , أ4 , ..... , أ م ) إذا كانت منتهية عدد حدودها = م
ح(ن) = ( أ1 , أ2 , أ3 , أ4 , ..... , أ ر , ..... ) إذا كانت غير منتهية
وأمثلة ذلك:
1] ح(ن) = ( 1 , 2 , 3 , 4 , ... ) متتابعة الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن
2] ح(ن) = ( 2 , 4 , 6 , ... ) متتابعة الأعداد الزوجية الموجبة
قاعدتها ح(ن) = 2ن
3] ح(ن) = ( 1 , 4 , 9 , 16 , ... ) متتابعة مربعات الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن2
4] ح(ن) = ( 1 , 8 , 27 , 64 , ... ) متتابعة مكعبات الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن3
5] ح(ن) = ( 13 , 17 , 21 , 25 , ... , 101 ) متتابعة حسابيةأساسها =4
قاعدتها ح(ن) = 9 + 4ن
6] ح(ن) = ( 60 , 53 , 46 , 39 , ... ) متتابعة حسابية أساسها = - 7
قاعدتها ح(ن) = 67 – 7 ن
7] ح(ن) = ( 2 , 6 , 18 , 54 , ... ) متتابعة هندسية أساسها = 3
قاعدتها ح(ن) = 2 × 3 ^(ن-1)
8] ح( ن)= (512 , 256 , 128 , ... , 1 ) متتابعة هنسية أساسها = 1\2
قاعدتها ح(ن) = 512 × 0.5 ^(ن-1)
9] ح(ن) = ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 , ... ) متتابعة هنسية أساسها = - 1
قاعدتها ح(ن) = - 1 ^(ن-1)
10] ح(ن) = ( 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , ... ) متتابعة ثابتة ( هندسية & حسابية)
قاعدتها ح(ن) = 7
11] ح(ن) = ( 1 , 2\3 , 1\3 , 4\27 , .... ) متتابعة عامة
قاعدتها ح(ن) = ن \ 3 ^ (ن – 1) ناشئة من قسمة حدود مثال 2 على مثال 7
12] ح(ن) = ن2 + ن – 7 متتابعة عامة
13] ح (ن) = ( 2ن – 3 ) \ ( ن2 + 1 ) متتابعة عامة
أما المتسلسلة فهى بكل بساطة المجموع الجبرى لحدود المتتابعة
يعنى لا يوجد فاصلة بين الحدود وإنما توجد علامة الجمع +
جـ( 11) = 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 121 متسلسلة مجموع الأحد عشر الأولى من متتابعة مربعات الأعداد الطبيعية
جـ = 1+ 1\2 + 1\4 + 1\8 + ....... متسلسلة مجموع مالانهاية من حدود المتتابعة الهندسية التقاربية التى حدها الأول = 1 , أساسها = 1\2
وبصفة عامة
إذا كان قاعدة تعريف الحد النونى لمتتابعة ما معلومة
يستخدم الرمز سيجما ح(ر) للدلالة على متسلسلة مجموع حدود هذه المتتابعة إبتداء من ر= 1 إلى ر = ن
يتميز الرمز سيجما بخصائص هامة يجب معرفتها فهى تساعد على الوصول للحل بسهولة ويسر
ولإيجاد مجموع ن من حدود متتابعة حسابية على الصورة
أ , أ + د , أ + 2 د , ... , ل = أ + ( ن – 1 ) × د
حدها الأول = أ , أساسها = د , وعدد حدودها = ن , وحدها الأخير =ل
جـ (ن) = ن\2 [ 2أ + ( ن – 1 ) × د ]
جـ(ن) = ن\2 [ أ + ل ]
جـ(ن) = ن × م حيث م الحد الأوسط لمتتابعة عدد حدودها فردى
جـ(ن) = ن × الوسط الحسابى للحدان الأوسطان لمتتابعة عدد حدودها زوجى
حالة خاصة
جـ (ن) = ن ×( ن + 1)\2 لإيجاد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى ن
وسوف نطبق على مثال 5
5] ح(ن) = ( 13 , 17 , 21 , 25 , ... , 101 ) متتابعة حسابيةأساسها =4
أوجد مجموع حدودها ثم أوجد مجموع العشرة حدود الأول منها
الحل: أولاً
الحد الأول: أ = 13
الأساس = أى حد – الحد السابق له مباشرة = 4
الحد الأخير: ل = 101
عدد الحدود = 22 حدا ( يمكن حسابه بسهولة لأن الحد الأخير معلوم)
مجموع حدود هذه المتتابعة = ن\2 ( أ + ل ) = 22\2 ( 13 + 101)
= 11 × 114 = 1254
ثانياً
جـ (ن) = ن \2 ( 2أ + ( ن – 1 ) × د )
جـ(10) = 10\2 ( 26 + 9 × 4 ) = 5 × ( 26 + 36 ) = 5 × 62 = 310
التعريف الرياضى الدقيق لمفهوم المتتابعات والمتسلسلات وأنواعها وقوانينها
موجود بالطبع فى أى كتاب يحتوى هذا الموضوع
ولكن بصورة مبسطة
يرمز لحدود هذه المتتابعة
ح(ن) = ( أ1 , أ2 , أ3 , أ4 , ..... , أ م ) إذا كانت منتهية عدد حدودها = م
ح(ن) = ( أ1 , أ2 , أ3 , أ4 , ..... , أ ر , ..... ) إذا كانت غير منتهية
وأمثلة ذلك:
1] ح(ن) = ( 1 , 2 , 3 , 4 , ... ) متتابعة الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن
2] ح(ن) = ( 2 , 4 , 6 , ... ) متتابعة الأعداد الزوجية الموجبة
قاعدتها ح(ن) = 2ن
3] ح(ن) = ( 1 , 4 , 9 , 16 , ... ) متتابعة مربعات الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن2
4] ح(ن) = ( 1 , 8 , 27 , 64 , ... ) متتابعة مكعبات الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن3
5] ح(ن) = ( 13 , 17 , 21 , 25 , ... , 101 ) متتابعة حسابيةأساسها =4
قاعدتها ح(ن) = 9 + 4ن
6] ح(ن) = ( 60 , 53 , 46 , 39 , ... ) متتابعة حسابية أساسها = - 7
قاعدتها ح(ن) = 67 – 7 ن
7] ح(ن) = ( 2 , 6 , 18 , 54 , ... ) متتابعة هندسية أساسها = 3
قاعدتها ح(ن) = 2 × 3 ^(ن-1)
8] ح( ن)= (512 , 256 , 128 , ... , 1 ) متتابعة هنسية أساسها = 1\2
قاعدتها ح(ن) = 512 × 0.5 ^(ن-1)
9] ح(ن) = ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 , ... ) متتابعة هنسية أساسها = - 1
قاعدتها ح(ن) = - 1 ^(ن-1)
10] ح(ن) = ( 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , ... ) متتابعة ثابتة ( هندسية & حسابية)
قاعدتها ح(ن) = 7
11] ح(ن) = ( 1 , 2\3 , 1\3 , 4\27 , .... ) متتابعة عامة
قاعدتها ح(ن) = ن \ 3 ^ (ن – 1) ناشئة من قسمة حدود مثال 2 على مثال 7
12] ح(ن) = ن2 + ن – 7 متتابعة عامة
13] ح (ن) = ( 2ن – 3 ) \ ( ن2 + 1 ) متتابعة عامة
أما المتسلسلة فهى بكل بساطة المجموع الجبرى لحدود المتتابعة
يعنى لا يوجد فاصلة بين الحدود وإنما توجد علامة الجمع +
جـ( 11) = 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 121 متسلسلة مجموع الأحد عشر الأولى من متتابعة مربعات الأعداد الطبيعية
جـ = 1+ 1\2 + 1\4 + 1\8 + ....... متسلسلة مجموع مالانهاية من حدود المتتابعة الهندسية التقاربية التى حدها الأول = 1 , أساسها = 1\2
وبصفة عامة
إذا كان قاعدة تعريف الحد النونى لمتتابعة ما معلومة
يستخدم الرمز سيجما ح(ر) للدلالة على متسلسلة مجموع حدود هذه المتتابعة إبتداء من ر= 1 إلى ر = ن
يتميز الرمز سيجما بخصائص هامة يجب معرفتها فهى تساعد على الوصول للحل بسهولة ويسر
ولإيجاد مجموع ن من حدود متتابعة حسابية على الصورة
أ , أ + د , أ + 2 د , ... , ل = أ + ( ن – 1 ) × د
حدها الأول = أ , أساسها = د , وعدد حدودها = ن , وحدها الأخير =ل
جـ (ن) = ن\2 [ 2أ + ( ن – 1 ) × د ]
جـ(ن) = ن\2 [ أ + ل ]
جـ(ن) = ن × م حيث م الحد الأوسط لمتتابعة عدد حدودها فردى
جـ(ن) = ن × الوسط الحسابى للحدان الأوسطان لمتتابعة عدد حدودها زوجى
حالة خاصة
جـ (ن) = ن ×( ن + 1)\2 لإيجاد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى ن
وسوف نطبق على مثال 5
5] ح(ن) = ( 13 , 17 , 21 , 25 , ... , 101 ) متتابعة حسابيةأساسها =4
أوجد مجموع حدودها ثم أوجد مجموع العشرة حدود الأول منها
الحل: أولاً
الحد الأول: أ = 13
الأساس = أى حد – الحد السابق له مباشرة = 4
الحد الأخير: ل = 101
عدد الحدود = 22 حدا ( يمكن حسابه بسهولة لأن الحد الأخير معلوم)
مجموع حدود هذه المتتابعة = ن\2 ( أ + ل ) = 22\2 ( 13 + 101)
= 11 × 114 = 1254
ثانياً
جـ (ن) = ن \2 ( 2أ + ( ن – 1 ) × د )
جـ(10) = 10\2 ( 26 + 9 × 4 ) = 5 × ( 26 + 36 ) = 5 × 62 = 310
أن المتسلسلات غير المنتهية يمكن جمعها إذا كانت متقاربة أي أمكن وجود نهاية لها .
تنقسم عند دراسة مجموعها إلى قسمين :
1- متسلسة غير منتهية هندسية :
وهنا توجد أساسها ر فإذا كانت :
القيمة المطلقة لــ ر أصغر من الواحد فالمتسلسة متقاربة ولها مجموع ويعطى بالقانون الذي لا يحظرني حالياً ولكن أتخيل أنه :
جــ = أ ÷ ( 1 - ر ) " اعذروني ما أدرس المادة "
وإذا كانت ر غير ذلك فهي متباعدة وليس لها مجموع .
2- متسلسة غير منتهية وغير هندسية :
إذا كانت حسابية فهي متباعدة وليس لها مجموع .
أما إذا كانت غير ذلك فنوجد نهاية الحد النوني .
فإذا كانت لا تساوي صفر فهي متباعدة وليس لها مجموع .
وإذا كانت تساوي صفر نبحث تقاربها حسب نظرية التقارب .
أرجو أن أكون قد وفقت .
موجود بالطبع فى أى كتاب يحتوى هذا الموضوع
ولكن بصورة مبسطة
يرمز لحدود هذه المتتابعة
ح(ن) = ( أ1 , أ2 , أ3 , أ4 , ..... , أ م ) إذا كانت منتهية عدد حدودها = م
ح(ن) = ( أ1 , أ2 , أ3 , أ4 , ..... , أ ر , ..... ) إذا كانت غير منتهية
وأمثلة ذلك:
1] ح(ن) = ( 1 , 2 , 3 , 4 , ... ) متتابعة الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن
2] ح(ن) = ( 2 , 4 , 6 , ... ) متتابعة الأعداد الزوجية الموجبة
قاعدتها ح(ن) = 2ن
3] ح(ن) = ( 1 , 4 , 9 , 16 , ... ) متتابعة مربعات الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن2
4] ح(ن) = ( 1 , 8 , 27 , 64 , ... ) متتابعة مكعبات الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن3
5] ح(ن) = ( 13 , 17 , 21 , 25 , ... , 101 ) متتابعة حسابيةأساسها =4
قاعدتها ح(ن) = 9 + 4ن
6] ح(ن) = ( 60 , 53 , 46 , 39 , ... ) متتابعة حسابية أساسها = - 7
قاعدتها ح(ن) = 67 – 7 ن
7] ح(ن) = ( 2 , 6 , 18 , 54 , ... ) متتابعة هندسية أساسها = 3
قاعدتها ح(ن) = 2 × 3 ^(ن-1)
8] ح( ن)= (512 , 256 , 128 , ... , 1 ) متتابعة هنسية أساسها = 1\2
قاعدتها ح(ن) = 512 × 0.5 ^(ن-1)
9] ح(ن) = ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 , ... ) متتابعة هنسية أساسها = - 1
قاعدتها ح(ن) = - 1 ^(ن-1)
10] ح(ن) = ( 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , ... ) متتابعة ثابتة ( هندسية & حسابية)
قاعدتها ح(ن) = 7
11] ح(ن) = ( 1 , 2\3 , 1\3 , 4\27 , .... ) متتابعة عامة
قاعدتها ح(ن) = ن \ 3 ^ (ن – 1) ناشئة من قسمة حدود مثال 2 على مثال 7
12] ح(ن) = ن2 + ن – 7 متتابعة عامة
13] ح (ن) = ( 2ن – 3 ) \ ( ن2 + 1 ) متتابعة عامة
أما المتسلسلة فهى بكل بساطة المجموع الجبرى لحدود المتتابعة
يعنى لا يوجد فاصلة بين الحدود وإنما توجد علامة الجمع +
جـ( 11) = 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 121 متسلسلة مجموع الأحد عشر الأولى من متتابعة مربعات الأعداد الطبيعية
جـ = 1+ 1\2 + 1\4 + 1\8 + ....... متسلسلة مجموع مالانهاية من حدود المتتابعة الهندسية التقاربية التى حدها الأول = 1 , أساسها = 1\2
وبصفة عامة
إذا كان قاعدة تعريف الحد النونى لمتتابعة ما معلومة
يستخدم الرمز سيجما ح(ر) للدلالة على متسلسلة مجموع حدود هذه المتتابعة إبتداء من ر= 1 إلى ر = ن
يتميز الرمز سيجما بخصائص هامة يجب معرفتها فهى تساعد على الوصول للحل بسهولة ويسر
ولإيجاد مجموع ن من حدود متتابعة حسابية على الصورة
أ , أ + د , أ + 2 د , ... , ل = أ + ( ن – 1 ) × د
حدها الأول = أ , أساسها = د , وعدد حدودها = ن , وحدها الأخير =ل
جـ (ن) = ن\2 [ 2أ + ( ن – 1 ) × د ]
جـ(ن) = ن\2 [ أ + ل ]
جـ(ن) = ن × م حيث م الحد الأوسط لمتتابعة عدد حدودها فردى
جـ(ن) = ن × الوسط الحسابى للحدان الأوسطان لمتتابعة عدد حدودها زوجى
حالة خاصة
جـ (ن) = ن ×( ن + 1)\2 لإيجاد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى ن
وسوف نطبق على مثال 5
5] ح(ن) = ( 13 , 17 , 21 , 25 , ... , 101 ) متتابعة حسابيةأساسها =4
أوجد مجموع حدودها ثم أوجد مجموع العشرة حدود الأول منها
الحل: أولاً
الحد الأول: أ = 13
الأساس = أى حد – الحد السابق له مباشرة = 4
الحد الأخير: ل = 101
عدد الحدود = 22 حدا ( يمكن حسابه بسهولة لأن الحد الأخير معلوم)
مجموع حدود هذه المتتابعة = ن\2 ( أ + ل ) = 22\2 ( 13 + 101)
= 11 × 114 = 1254
ثانياً
جـ (ن) = ن \2 ( 2أ + ( ن – 1 ) × د )
جـ(10) = 10\2 ( 26 + 9 × 4 ) = 5 × ( 26 + 36 ) = 5 × 62 = 310
التعريف الرياضى الدقيق لمفهوم المتتابعات والمتسلسلات وأنواعها وقوانينها
موجود بالطبع فى أى كتاب يحتوى هذا الموضوع
ولكن بصورة مبسطة
يرمز لحدود هذه المتتابعة
ح(ن) = ( أ1 , أ2 , أ3 , أ4 , ..... , أ م ) إذا كانت منتهية عدد حدودها = م
ح(ن) = ( أ1 , أ2 , أ3 , أ4 , ..... , أ ر , ..... ) إذا كانت غير منتهية
وأمثلة ذلك:
1] ح(ن) = ( 1 , 2 , 3 , 4 , ... ) متتابعة الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن
2] ح(ن) = ( 2 , 4 , 6 , ... ) متتابعة الأعداد الزوجية الموجبة
قاعدتها ح(ن) = 2ن
3] ح(ن) = ( 1 , 4 , 9 , 16 , ... ) متتابعة مربعات الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن2
4] ح(ن) = ( 1 , 8 , 27 , 64 , ... ) متتابعة مكعبات الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن3
5] ح(ن) = ( 13 , 17 , 21 , 25 , ... , 101 ) متتابعة حسابيةأساسها =4
قاعدتها ح(ن) = 9 + 4ن
6] ح(ن) = ( 60 , 53 , 46 , 39 , ... ) متتابعة حسابية أساسها = - 7
قاعدتها ح(ن) = 67 – 7 ن
7] ح(ن) = ( 2 , 6 , 18 , 54 , ... ) متتابعة هندسية أساسها = 3
قاعدتها ح(ن) = 2 × 3 ^(ن-1)
8] ح( ن)= (512 , 256 , 128 , ... , 1 ) متتابعة هنسية أساسها = 1\2
قاعدتها ح(ن) = 512 × 0.5 ^(ن-1)
9] ح(ن) = ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 , ... ) متتابعة هنسية أساسها = - 1
قاعدتها ح(ن) = - 1 ^(ن-1)
10] ح(ن) = ( 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , ... ) متتابعة ثابتة ( هندسية & حسابية)
قاعدتها ح(ن) = 7
11] ح(ن) = ( 1 , 2\3 , 1\3 , 4\27 , .... ) متتابعة عامة
قاعدتها ح(ن) = ن \ 3 ^ (ن – 1) ناشئة من قسمة حدود مثال 2 على مثال 7
12] ح(ن) = ن2 + ن – 7 متتابعة عامة
13] ح (ن) = ( 2ن – 3 ) \ ( ن2 + 1 ) متتابعة عامة
أما المتسلسلة فهى بكل بساطة المجموع الجبرى لحدود المتتابعة
يعنى لا يوجد فاصلة بين الحدود وإنما توجد علامة الجمع +
جـ( 11) = 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 121 متسلسلة مجموع الأحد عشر الأولى من متتابعة مربعات الأعداد الطبيعية
جـ = 1+ 1\2 + 1\4 + 1\8 + ....... متسلسلة مجموع مالانهاية من حدود المتتابعة الهندسية التقاربية التى حدها الأول = 1 , أساسها = 1\2
وبصفة عامة
إذا كان قاعدة تعريف الحد النونى لمتتابعة ما معلومة
يستخدم الرمز سيجما ح(ر) للدلالة على متسلسلة مجموع حدود هذه المتتابعة إبتداء من ر= 1 إلى ر = ن
يتميز الرمز سيجما بخصائص هامة يجب معرفتها فهى تساعد على الوصول للحل بسهولة ويسر
ولإيجاد مجموع ن من حدود متتابعة حسابية على الصورة
أ , أ + د , أ + 2 د , ... , ل = أ + ( ن – 1 ) × د
حدها الأول = أ , أساسها = د , وعدد حدودها = ن , وحدها الأخير =ل
جـ (ن) = ن\2 [ 2أ + ( ن – 1 ) × د ]
جـ(ن) = ن\2 [ أ + ل ]
جـ(ن) = ن × م حيث م الحد الأوسط لمتتابعة عدد حدودها فردى
جـ(ن) = ن × الوسط الحسابى للحدان الأوسطان لمتتابعة عدد حدودها زوجى
حالة خاصة
جـ (ن) = ن ×( ن + 1)\2 لإيجاد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى ن
وسوف نطبق على مثال 5
5] ح(ن) = ( 13 , 17 , 21 , 25 , ... , 101 ) متتابعة حسابيةأساسها =4
أوجد مجموع حدودها ثم أوجد مجموع العشرة حدود الأول منها
الحل: أولاً
الحد الأول: أ = 13
الأساس = أى حد – الحد السابق له مباشرة = 4
الحد الأخير: ل = 101
عدد الحدود = 22 حدا ( يمكن حسابه بسهولة لأن الحد الأخير معلوم)
مجموع حدود هذه المتتابعة = ن\2 ( أ + ل ) = 22\2 ( 13 + 101)
= 11 × 114 = 1254
ثانياً
جـ (ن) = ن \2 ( 2أ + ( ن – 1 ) × د )
جـ(10) = 10\2 ( 26 + 9 × 4 ) = 5 × ( 26 + 36 ) = 5 × 62 = 310
التعريف الرياضى الدقيق لمفهوم المتتابعات والمتسلسلات وأنواعها وقوانينها
موجود بالطبع فى أى كتاب يحتوى هذا الموضوع
ولكن بصورة مبسطة
يرمز لحدود هذه المتتابعة
ح(ن) = ( أ1 , أ2 , أ3 , أ4 , ..... , أ م ) إذا كانت منتهية عدد حدودها = م
ح(ن) = ( أ1 , أ2 , أ3 , أ4 , ..... , أ ر , ..... ) إذا كانت غير منتهية
وأمثلة ذلك:
1] ح(ن) = ( 1 , 2 , 3 , 4 , ... ) متتابعة الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن
2] ح(ن) = ( 2 , 4 , 6 , ... ) متتابعة الأعداد الزوجية الموجبة
قاعدتها ح(ن) = 2ن
3] ح(ن) = ( 1 , 4 , 9 , 16 , ... ) متتابعة مربعات الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن2
4] ح(ن) = ( 1 , 8 , 27 , 64 , ... ) متتابعة مكعبات الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن3
5] ح(ن) = ( 13 , 17 , 21 , 25 , ... , 101 ) متتابعة حسابيةأساسها =4
قاعدتها ح(ن) = 9 + 4ن
6] ح(ن) = ( 60 , 53 , 46 , 39 , ... ) متتابعة حسابية أساسها = - 7
قاعدتها ح(ن) = 67 – 7 ن
7] ح(ن) = ( 2 , 6 , 18 , 54 , ... ) متتابعة هندسية أساسها = 3
قاعدتها ح(ن) = 2 × 3 ^(ن-1)
8] ح( ن)= (512 , 256 , 128 , ... , 1 ) متتابعة هنسية أساسها = 1\2
قاعدتها ح(ن) = 512 × 0.5 ^(ن-1)
9] ح(ن) = ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 , ... ) متتابعة هنسية أساسها = - 1
قاعدتها ح(ن) = - 1 ^(ن-1)
10] ح(ن) = ( 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , ... ) متتابعة ثابتة ( هندسية & حسابية)
قاعدتها ح(ن) = 7
11] ح(ن) = ( 1 , 2\3 , 1\3 , 4\27 , .... ) متتابعة عامة
قاعدتها ح(ن) = ن \ 3 ^ (ن – 1) ناشئة من قسمة حدود مثال 2 على مثال 7
12] ح(ن) = ن2 + ن – 7 متتابعة عامة
13] ح (ن) = ( 2ن – 3 ) \ ( ن2 + 1 ) متتابعة عامة
أما المتسلسلة فهى بكل بساطة المجموع الجبرى لحدود المتتابعة
يعنى لا يوجد فاصلة بين الحدود وإنما توجد علامة الجمع +
جـ( 11) = 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 121 متسلسلة مجموع الأحد عشر الأولى من متتابعة مربعات الأعداد الطبيعية
جـ = 1+ 1\2 + 1\4 + 1\8 + ....... متسلسلة مجموع مالانهاية من حدود المتتابعة الهندسية التقاربية التى حدها الأول = 1 , أساسها = 1\2
وبصفة عامة
إذا كان قاعدة تعريف الحد النونى لمتتابعة ما معلومة
يستخدم الرمز سيجما ح(ر) للدلالة على متسلسلة مجموع حدود هذه المتتابعة إبتداء من ر= 1 إلى ر = ن
يتميز الرمز سيجما بخصائص هامة يجب معرفتها فهى تساعد على الوصول للحل بسهولة ويسر
ولإيجاد مجموع ن من حدود متتابعة حسابية على الصورة
أ , أ + د , أ + 2 د , ... , ل = أ + ( ن – 1 ) × د
حدها الأول = أ , أساسها = د , وعدد حدودها = ن , وحدها الأخير =ل
جـ (ن) = ن\2 [ 2أ + ( ن – 1 ) × د ]
جـ(ن) = ن\2 [ أ + ل ]
جـ(ن) = ن × م حيث م الحد الأوسط لمتتابعة عدد حدودها فردى
جـ(ن) = ن × الوسط الحسابى للحدان الأوسطان لمتتابعة عدد حدودها زوجى
حالة خاصة
جـ (ن) = ن ×( ن + 1)\2 لإيجاد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى ن
وسوف نطبق على مثال 5
5] ح(ن) = ( 13 , 17 , 21 , 25 , ... , 101 ) متتابعة حسابيةأساسها =4
أوجد مجموع حدودها ثم أوجد مجموع العشرة حدود الأول منها
الحل: أولاً
الحد الأول: أ = 13
الأساس = أى حد – الحد السابق له مباشرة = 4
الحد الأخير: ل = 101
عدد الحدود = 22 حدا ( يمكن حسابه بسهولة لأن الحد الأخير معلوم)
مجموع حدود هذه المتتابعة = ن\2 ( أ + ل ) = 22\2 ( 13 + 101)
= 11 × 114 = 1254
ثانياً
جـ (ن) = ن \2 ( 2أ + ( ن – 1 ) × د )
جـ(10) = 10\2 ( 26 + 9 × 4 ) = 5 × ( 26 + 36 ) = 5 × 62 = 310
التعريف الرياضى الدقيق لمفهوم المتتابعات والمتسلسلات وأنواعها وقوانينها
موجود بالطبع فى أى كتاب يحتوى هذا الموضوع
ولكن بصورة مبسطة
يرمز لحدود هذه المتتابعة
ح(ن) = ( أ1 , أ2 , أ3 , أ4 , ..... , أ م ) إذا كانت منتهية عدد حدودها = م
ح(ن) = ( أ1 , أ2 , أ3 , أ4 , ..... , أ ر , ..... ) إذا كانت غير منتهية
وأمثلة ذلك:
1] ح(ن) = ( 1 , 2 , 3 , 4 , ... ) متتابعة الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن
2] ح(ن) = ( 2 , 4 , 6 , ... ) متتابعة الأعداد الزوجية الموجبة
قاعدتها ح(ن) = 2ن
3] ح(ن) = ( 1 , 4 , 9 , 16 , ... ) متتابعة مربعات الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن2
4] ح(ن) = ( 1 , 8 , 27 , 64 , ... ) متتابعة مكعبات الأعداد الطبيعية
قاعدتها ح(ن) = ن3
5] ح(ن) = ( 13 , 17 , 21 , 25 , ... , 101 ) متتابعة حسابيةأساسها =4
قاعدتها ح(ن) = 9 + 4ن
6] ح(ن) = ( 60 , 53 , 46 , 39 , ... ) متتابعة حسابية أساسها = - 7
قاعدتها ح(ن) = 67 – 7 ن
7] ح(ن) = ( 2 , 6 , 18 , 54 , ... ) متتابعة هندسية أساسها = 3
قاعدتها ح(ن) = 2 × 3 ^(ن-1)
8] ح( ن)= (512 , 256 , 128 , ... , 1 ) متتابعة هنسية أساسها = 1\2
قاعدتها ح(ن) = 512 × 0.5 ^(ن-1)
9] ح(ن) = ( 1 , - 1 , 1 , - 1 , 1 , ... ) متتابعة هنسية أساسها = - 1
قاعدتها ح(ن) = - 1 ^(ن-1)
10] ح(ن) = ( 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , ... ) متتابعة ثابتة ( هندسية & حسابية)
قاعدتها ح(ن) = 7
11] ح(ن) = ( 1 , 2\3 , 1\3 , 4\27 , .... ) متتابعة عامة
قاعدتها ح(ن) = ن \ 3 ^ (ن – 1) ناشئة من قسمة حدود مثال 2 على مثال 7
12] ح(ن) = ن2 + ن – 7 متتابعة عامة
13] ح (ن) = ( 2ن – 3 ) \ ( ن2 + 1 ) متتابعة عامة
أما المتسلسلة فهى بكل بساطة المجموع الجبرى لحدود المتتابعة
يعنى لا يوجد فاصلة بين الحدود وإنما توجد علامة الجمع +
جـ( 11) = 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 121 متسلسلة مجموع الأحد عشر الأولى من متتابعة مربعات الأعداد الطبيعية
جـ = 1+ 1\2 + 1\4 + 1\8 + ....... متسلسلة مجموع مالانهاية من حدود المتتابعة الهندسية التقاربية التى حدها الأول = 1 , أساسها = 1\2
وبصفة عامة
إذا كان قاعدة تعريف الحد النونى لمتتابعة ما معلومة
يستخدم الرمز سيجما ح(ر) للدلالة على متسلسلة مجموع حدود هذه المتتابعة إبتداء من ر= 1 إلى ر = ن
يتميز الرمز سيجما بخصائص هامة يجب معرفتها فهى تساعد على الوصول للحل بسهولة ويسر
ولإيجاد مجموع ن من حدود متتابعة حسابية على الصورة
أ , أ + د , أ + 2 د , ... , ل = أ + ( ن – 1 ) × د
حدها الأول = أ , أساسها = د , وعدد حدودها = ن , وحدها الأخير =ل
جـ (ن) = ن\2 [ 2أ + ( ن – 1 ) × د ]
جـ(ن) = ن\2 [ أ + ل ]
جـ(ن) = ن × م حيث م الحد الأوسط لمتتابعة عدد حدودها فردى
جـ(ن) = ن × الوسط الحسابى للحدان الأوسطان لمتتابعة عدد حدودها زوجى
حالة خاصة
جـ (ن) = ن ×( ن + 1)\2 لإيجاد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى ن
وسوف نطبق على مثال 5
5] ح(ن) = ( 13 , 17 , 21 , 25 , ... , 101 ) متتابعة حسابيةأساسها =4
أوجد مجموع حدودها ثم أوجد مجموع العشرة حدود الأول منها
الحل: أولاً
الحد الأول: أ = 13
الأساس = أى حد – الحد السابق له مباشرة = 4
الحد الأخير: ل = 101
عدد الحدود = 22 حدا ( يمكن حسابه بسهولة لأن الحد الأخير معلوم)
مجموع حدود هذه المتتابعة = ن\2 ( أ + ل ) = 22\2 ( 13 + 101)
= 11 × 114 = 1254
ثانياً
جـ (ن) = ن \2 ( 2أ + ( ن – 1 ) × د )
جـ(10) = 10\2 ( 26 + 9 × 4 ) = 5 × ( 26 + 36 ) = 5 × 62 = 310
أن المتسلسلات غير المنتهية يمكن جمعها إذا كانت متقاربة أي أمكن وجود نهاية لها .
تنقسم عند دراسة مجموعها إلى قسمين :
1- متسلسة غير منتهية هندسية :
وهنا توجد أساسها ر فإذا كانت :
القيمة المطلقة لــ ر أصغر من الواحد فالمتسلسة متقاربة ولها مجموع ويعطى بالقانون الذي لا يحظرني حالياً ولكن أتخيل أنه :
جــ = أ ÷ ( 1 - ر ) " اعذروني ما أدرس المادة "
وإذا كانت ر غير ذلك فهي متباعدة وليس لها مجموع .
2- متسلسة غير منتهية وغير هندسية :
إذا كانت حسابية فهي متباعدة وليس لها مجموع .
أما إذا كانت غير ذلك فنوجد نهاية الحد النوني .
فإذا كانت لا تساوي صفر فهي متباعدة وليس لها مجموع .
وإذا كانت تساوي صفر نبحث تقاربها حسب نظرية التقارب .
أرجو أن أكون قد وفقت .
